Category: 数趣
January 31, 2017
English Version: Nine: Cloud Nine, Nine Novelties
> 9 是最大的一位数字。9 是平方数，9 = 32.
因 32 – 23 = 1，我们说9= 32 是比另一完全幂（23）大一的完全幂。
满足另一完全幂大一，数字 9 是唯一。
> （在十进制中）要判别一个数是否9的倍数，只要把所有数字加起来，看数字和是否 9 的倍数。如果求出的和的结果大于10，可以把这结果的各位数字再相加…… 这样最后总能得到一位数字。如果这个数字是9，那末最开始的数字就是 9 的倍数。
数学上这样说，9 的倍数的数字迹（digit root）是九。
弃9法是快速检查整数运算结果的一种方法：就建立在上述原理之上。
>
在圆周上任取4个点，选择在点对之间连线成弦（或者不连）。如果限制弦之间不能相交，那么所有的选择方式共有9种（参考下图）。
小结一下：圆上4点有9种连线成不相交弦的选择方案（含完全不连）。
> 请看下面等式：
| 405 ÷ 9 = 45 |
2025 ÷ 9 = 225 |
6075 ÷ 9 = 675 |
|---|
| 45 ÷ 9 = 5 |
225 ÷ 9 = 25 |
675 ÷ 9 = 75 |
以 45 ÷ 9 = 5 为例。只要从45 中划去4，余下的5就是结果。（当然，只对若干特别数成立。）上面其他等式也类似。奇妙的是，这个窍门可以用两次（如 405 -> 45 -> 5, 每次缩小到 1/9，不妨称为9-缩链）。
仔细再看一眼上面的等式：您还可以总结到其他规律吗？
阿拉伯数字 9 曾有几种不同的写法（古写法，今天已不用）。有的象问号，又象数字3，还有写法上把数字3 含在里面的。
> 3 是9的约数，3 和 9 都有多的意思。人是好奇的，所以问题也特别多。
英文讲“Cloud Nine”, 东方有九重天，含义不尽相同，但是说法上类似。
中文的“九”还有长久的意思，九九重阳节登高是中国文化的一个传统。
> 数字 4 或者 5 和 9 有你想不到的天然默契，举例 （上面都提了）：
A. 圆上四点有9种连成不相交弦的方式。
B. 9-缩链的终点是5的幂的倍数。
> 下面我们杂拾了一些和9有关的有趣事实：
- 圆周率（精准数字）从小数点后762位起连续出现6个“9”
- 1/7 = 142857 / 999999
- 9 = 3(21) （这种形式叫做指数类阶乘）
不过是随意拾取的几条，但也说明 9 无处不在！
January 31, 2017
English Version: Eight: Cubic, Sphenic and Super “8”
8 是完全立方数。8 = 23.
我们也可以说 8 是完全幂（幂可以是平方，立方，四次方等；这里是立方）。
> 看下面的等式：
8 = 23 = 32 – 1
8 是唯一的比另一完全幂小一的完全幂（根据已证明的Mihailescu 定理）。
> 通过把四边形的每边分开成两条更短边，我们得到一个八边形。
八面体有8个面。八面体总可以分成4个四面体。
还有，章鱼有八条腿。
> 计算机中常用到八进制数。
计算机里的信息是用二进制来存的。每位二进制位叫一个比特。三位比特形成八进制的一位。例如，十进制的20 在二进制中表示成 010100，在八进制中是 24 = 2 × 8 + 4.
立方体有8个顶点，6个面和12条边。
八面体有6个顶点，8个面和12条边。
（请注意在上面两句中顶点和面的个数交换了；而边的个数是一样的。）
因而我们把八面体称作立方体的对偶多面体（顶点和面互换了）。对偶多面体是一个重要的数学概念。
> 一个刚好有3个相异素因子的整数叫 Sphenix 数。其例子有 30 = 2 × 3 × 5, 105 = 3 × 5 × 7, 231 = 3 × 7 × 11 等。数学里我们知道每个 Sphenix 数 都有8个约数（包括1 和它本身）。要是不算1和它本身，那末每个 Sphenix 数就只有六个约数。
数 8 本身不是 Sphenix 数因其三个因子相同 （23）。
阿拉伯数字 8 是怎样演变成今天的形状的，也颇为有趣。下面一行表现了数字 8的演变。
对于这个演变的解释，有一种说法如下：
最开始的象形，
是两只重叠的手（以中间横杠代表），除去两个拇指，所以是八个手指头。后来
代表拇指的竖杠逐渐弯曲，有点象拉丁字母 S，直到最后整个象形完全闭合了 （闭合后也就对称了：你能看到数字8 有几个对称轴吗？）。
— 所以想到对称时，不妨想想八字形（8）。 在花样滑冰的运动中，有著名的八字形花样。八字形也用来表示交叉的绳索或者网络的连线，出现在今天数字化时代的图标中。
> 一周有 七 天，第8天又是星期一。在乐理中，多来米发索拉西是七个音高，之后又回到“多”（但是高了八度），因而在一些文化中，八代表希望和新的开始。
华侨华人中也有喜欢数字8的，8的音近“发”，恭喜发财。
> 和八有关的说法：
四面八方，八面来风，八面玲珑
八成没错，八九不离十，八月桂花香
January 30, 2017
English Version: Seven Colors of a Rainbow
> 彩虹有七种颜色。
说的准确些，彩虹的色谱是连续的。颜色带只是人眼的视觉效果。我们通常
说的七色（有牛顿总结提出）包含 赤，橙，黄，绿，蓝，靛，紫。
一周有七天，世界有七大奇迹。
> 我们从七的倒数（即 1/7，七分之一）开始。
1 / 7 = 142857 / 999999 = 0.142857142857141857 .. .. .. (一直重复下去)
注意数串142857 相当有趣，看一看下面的式子你就明白了:
1 × 142857 = 142857
2 × 142857 = 285714
3 × 142857 = 428571
4 × 142857 = 571428
5 × 142857 = 714285
6 × 142857 = 857142
7 × 142857 = 999999
注意到了吗？
1 -> 4 -> 2 -> 8 -> 5 -> 7 好比一个神奇的圈，当乘数是1 – 6 时，我们仍然可以顺着圈读出结果，唯一不同的是从哪个数字开始。因而我们说这是一个叫人着迷的圆圈模式。
在右端的所有结果串中，数字 3，6，9 完全没有出现。如果注意到数字14：串的最左两位数字， 那么一个简单解释是：2 × 14 = 28 然后 3 × 14 = 42，所以数字3 没有机会出现。那要是 13 呢？你可以一试，不过可没有象 14 开头的串这么好的 Pattern。
> 假设你手里有标准的6面色子 （立方体，六面上分别有数字 1-6） 。同时掷两个这样的色子（或者掷两次），把出现的数字加起来得到和。和最可能是哪个数？是数字“7”。（如果先后两个数字是 1-6，2-5，3-4，4-3，5-2，6-1），求和的结果都是 7. 出现7的概率（可能性）是 1/6.
上述和的结果可能是 2 – 12 间的共11个数字。如果你把上面的实验做 110 次，那么出现7的次数会在 18次左右，而平均说来，11 个数字中的每个只有 10 次左右的机会。看出来了吧，出现“7”的机会确实多一些。
如果你把上面的实验真的做一次，也有可能观察到和上面分析相差较多的结果–因为是随机实验，结果当然也是完全随机的。
> 7 出现在Mersenne 数列中，
21 – 1, 22 – 1, 23 – 1, 24 – 1, 25 – 1, 26 – 1, 27 – 1, .. .. ..
Or
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127
7 是第三个Mersenne 数. 3 (第三) and 7 都是素数。
已经证明，如果 n 不是素数，那么2n -1 也不是素数。相反的一面如何？如果 n 是素数，那么 2n – 1 一定是素数吗？我们现在知道这可不一定。不再继续讨论下去了，不过这是一个有趣的题目哦！
> 7 的四倍是 28。 请看下面的式子：
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
注意到右边的式子里面包含了28 的所有真约数，这表明 28 是完全数。
> 和七有关的说法：
七色彩虹，七彩世界
七情六欲，七上八下，乱七八糟
January 30, 2017
“Six“
English Version： “Six”: All Directions, Hexagon, and 6-letter Words in Scrabble
> 一个立方体（也叫正方体）有 6 个面。
我们生活的3D 空间有六个方向，上下左右前后。
> 6 是偶数。6 同时也是完全数。
注：对于任何数，写下所有真约数（即比本数小的约数）。如果所有真约数加起来刚好等于该数本身，那么该数就叫完全数。
对于 6 来说，真约数是 1，2，3. 我们有 1 + 2 + 3 = 6. 所以6 是完全数。
下一个完全数是 28.
6 和下面方程的整数解有关: x + y + z = (x) (y) (z)
不管 x,y,z 的先后顺序，解是：一个1，一个2，一个3. 等式两边的结果都是6。
> 下面是两个有趣的等式：
（1 ⁄ 2）- （1 ⁄ 3） = （1 ⁄ 6） and
（1 ⁄ 2） + （1 ⁄ 3） + （1 ⁄ 6）= 1
> 6 有一个有趣的立方分数和表示形式：
6 = (173 + 373) ⁄ (213)
> 正六边形有6个顶点和6条边。我们可以把正六边形分成6个小等边三角形，这可以通过连接对面的顶点来实现。如果把每相隔一个的顶点连接起来，我们得到一个稍大的等边三角形。它和前面提到的小等边三角形是相似的。
一个四面体有 6 条边。
一个矩形有4 条边，但是如果再加上两条对角线，那么就是6条连线。这6条连线把所有可能的顶点对都连接起来了。
> 6 也是三角形数（如下）：
1 = 1
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
.. .. .. ..
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
.. .. .. ..
36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
上述所有出现在等式左端的，都是三角形数。
我们注意到 6 和它的平方 6 x 6 = 36 都是三角形数（分别是第三个和第八个三角形数）。
> 半径为 1（即直径为 2）的圆，其内接正六边形的边长也是 1，因而周长大于 6. 我们知道，圆周率 π 是周长和直径的比。这个定义加上圆周长大于6的直观事实，告诉我们 π 大于 6 ÷ 2 = 3. 人类认识圆形时，这是最早建立起来的事实之一。
> 与六有关的说法：
六合之内，六神无主，六六大顺，七情六欲
六常常和人的情绪联系在一起。和三类似，六也有多的意思。
January 26, 2017
English Version: One: the Beginning
一为万物之始。道生一，一生二，二生三，三生万物。
> 1 是第一个，也是最小的自然数：数数的第一个数。
> 1 只有一个约数或因子：
1 = 1 乘 1
> 先看例子：
5 x 1 = 5, 5 ÷ 1 = 5 (5 可以用任何自然数替代）
结论：任何数乘一（或者除以一）还是它自己。
> 先看例子： 1 ÷ 2 = 1/2, 1 ÷ 5 = 1/5 etc.
结论：_______________ (我们讲分数计算就是从这里开始的)
> 先看式子：1x = 1 （无论 x 是什麽数）
结论：_______________
> 二进制中只有两个数：除了0就是1
> 还有一个有趣的事实：
1 = 0.999 … … … （一直重复下去）
January 25, 2017
> 我们每天使用的数，无论整数或小数，都是以十进制表示的。
> 我们常忽略一个事实：数10 是使用到数字0 的头一个数。数字0是在东方世界（印度–中国 – 阿拉伯）发明的, 经过一些时候才为西方世界所接受。表示个位数上什么都没有，最早人们是用空格或者画个圈; 当0出现以后，使用0成为自然的选择。罗马数字直到最近还在使用，该系统中没有位值和0的概念 （例如 10，50，100 用 X, L, C 来表示）。
> 10 既是一般三角形数，又是中心三角形数。
10 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 + 3 + 6
如上所示，10 是头四个自然数的和，也是头三个三角形数的和。
> 刚好有两个素因子的数叫做半素数。10 是一个半素数，因为
10 = 2 × 5
头一个半素数是6. 所有半素数都有四个约数 （两个素因子，加上 1 和本身）。
> 10 可以写成两个完全平方数的和。
10 = 12 + 32 = (12 + 12) (12 + 22)
> 上面一行的式子很有意思，可以推广。如果两个整数，n, m, 分别可以写成两个完全平方数的和，那末它们的乘积也可以写成两个完全平方数的和。10 是这一类数的头个非平凡的例子。一般地，
如果 n = (a2 + b2), m = c2 + d2,
那末nm = (ac-bd)2 + (ad+bc)2
注意把 乘积 (nm) 表示成两个完全平方数之和的方式通常不唯一。
> 古希腊人曾经使用 10 的平方根作为圆周率的近似值。
> 在公制度量系统中，单位间换算常常基于 10 或10的整数幂。如 1 米 = 100 厘米，1 千米 = 1000 米。在钱币中，1 元 = 100 分，1角 = 10 分（‘分’现在已不大用了）。
在早期计算史上，人们使用对数来加快计算。对数最常用的底是 10 （因而以10 为底的对数叫常用对数）。
> 考虑计算一个数的 10 次幂。
10 次幂的最后一位（个位）数字 总是和同数平方的个位数字一致。
举例来说，210 = 1024 而 22 = 4。再举一例，710 = 282475249, 个位是9，而72 = 49，比较一下， 它们的个位数都是相同的 9.
>
在中国文化中，“十”表示完美，如十全十美，延伸为实现理想和达到预定目标。八九不离十是说差不多能成。帝王有九五之尊，离开10就差那么一点点，这既是为避免满溢，也有谦逊的姿态。
跟10有关的成语还有：十年寒窗，十年磨一剑，五光十色，十面埋伏。
常用说法： 十字街头，双手合十。
January 25, 2017
“5”
English Version: “5” as a Number: Half a Ten
> 5 是 10 的因子–而10是我们日用10进制数的底（逢十进一）。
> 所有5的倍数的个位数字是 5 或 0. 反之亦然。
> 个位是5的数字平方后，平方数的个位也是5.
–〉进一步：个位是5的数字平方后，最后两位数字是 25.
> 考虑把分数 m/n （m,n 都是整数，n不是m的约数）换算成小数，
如果分母是5，要么小数点后只有一位，是下述几种情况之一：.2, .4, .6, .8
反之，如果小数点后只有一位，那末 可以转化为分母是 2，5，或10的分数
> 5 是素数：5 = 1 × 5
5 = 221 +1 — 这种类型的数叫做费尔马数（由法国数学家费尔马的名字得名）
下一个费尔马数是 17 = 222 +1。
> [这条有点难] 费尔马数列是增长很快的数列: 如下
221 +1, 222 +1, 223 +1, 224 +1, … …
我们计算出前几个数的结果：
5, 17, 257, 65537, ..
有趣的是，前四个数都是素数，但是第五个不是： 225 +1 的一个较小约数是 641. 所以第五个费尔马数(225 +1) 是合数。而且从此似有一发不可收，从第5个一直到第32个（即是 2232 +1）全是合数。直到现在再往后的费尔马数列中是否还有素数，这问题尚未解决。
关于素数5的事实还有很多，为简明计我们不一一例举。
和五有关的说法：
一五一十，五体投地，五湖四海，五大洲
January 25, 2017
“5”
English Version: “Five” (as in a Shape): Pentagon-Pentagram; Golden Ratio
在这个帖子里我们再来看一下 “5” – 但是这一次的重点是来看图和形状, 5 的好多有趣性质同这些图和形状有关。
> 你知道完全图吗？给定 N个点，两两连接起来，就构成一个完全图。下面的图是 N=4 的情况。
连接时两点间的直线不必是直线，曲线也可。如果所有的连线间两两不交，那末就叫做一个平面图。下面的图（其中用了曲线）表明 N =4 的完全图是一个平面图。
但是N=5 的完全图并非平面图。其图是五边形 加上五角星的组合；无论怎样画，至少要有两条连线相交：要么你来试试？
简单说，结论是：
N = 5 的完全图不是平面图。
〉这一条是关于黄金三角形和黄金分割的。
我们称一个等腰三角形为黄金三角形，如果：
（I）该等腰三角形的底：腰为 1.618 .. .. — 这是第一类黄金三角形；
（II）该等腰三角形的底：腰：底为 1.618 .. .. — 这是第二类黄金三角形。
数字 1.618 .. .. 被称作黄金比。
黄金比有什么特殊呢？在人眼看来，黄金比给人一种优美优雅的感觉。不只是三角形 – 如果长方形的长宽比是 1.618 看上去也觉得漂亮。
> 我们不是在讨论 和5 有关的形状吗？是的，现在我们在正五边形 – 五角星图中来看黄金三角形。有相当多呢。您发现了一些吗？
这是我们在“数趣”序列中的第一个谜题。
把黄金比和数字“5” 联系起来的还有下面两个分数 （近似黄金比）。它们是：
1.618 .. .. 约等于 8/5 (值是1.6)
1.618 .. .. 约等于 5/3 (值是1.666 .. ..)
黄金比在这两个分数之间 8/5 < 1.618 .. .. < 5/3。
当你想到5时，记得有正五边形 – 五角星上的黄金分割比！
January 23, 2017
“Four” 
English Version: “Four” – Up. Down, Left, Right: All Four Directions
两对就是四。四是常见数。打牌常是4个人（所以有三缺一的说法）。
> 先看式子：4 = 2 x 2.
结论：4 是最小的合数（即能分解成更小数的积）：4 是完全平方数，也是2的幂。
> 四边形包含许多常见形状，如长方形，平行四边形等。你还能举出一些例子来吗？
> 在平面上有四个方向：上下左右。
> 四面体有4个顶点，6条边和4个表面。
4面体是最简单的多面体。
还有一个是科幻小说最著名的题材：四维空间。
> 4 启发了数学家的想象力和探索热情：如四色定理，分解成四平方数之和定理 等。[这条稍深一点]
关于四色定理：在平面或球面上，只要4种颜色就可以分开平面上所有的区域 (Four Colours Suffice).
关于 分解成四平方数之和定理：任何整数，皆可分为不超过4个完全平方数的和。
如 5 = 22 + 12, 25 = 42 + 32 [两个完全平方数之和]
7 = 22 + 12 + 12 + 12 [四个完全平方数之和]
> 排出所有4的幂次：4，16，64，256，1024，4096，……
注意到了吗：所有个位数字不是4就是6.
结论：4 的幂的个位数字是 4 或者 6 （取决于指数是单数还是双数）。
还有：4 的 补数是 6，4 乘 6 等于 24. [补数就是两个数字加起来等于 10]
结论：_______________ (请读者想一想）。
> 连续四个整数相加的和总是偶数，但却总不是 4 的倍数。例如 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
因为 10 象征完美，连带 4 也在某些文化 （如古希腊的比达格拉斯学派） 中受喜爱。
> 和四有关的说法：
四面八方，四周围，四面楚歌，
一年四季，朝三暮四，四脚朝天
January 17, 2017
“Three” 
English Version – Three: Tripods; Three Sides Make a Triangle
三有多的意思：三人成众；事不过三。
三个臭皮匠，顶个诸葛亮。（众人拾柴火焰高）
> 3 的最小性质：3边是多边形最少的边数，3 是最小的奇素数。3 也是最小的三角形数 (数 3 = 1 + 2).
如果不算1， 整数3 就是最小的单数。（有趣的是，同时 3 有多的意思。）
> 所有整数分成三类：正整数，零和负整数。
> 32 = 3 x 3 = 9, 23 = 2 x 2 x 2 = 8; 9 和 8 是十进制中最大和第二大的两个数字。
> 要判断一个数能否被三整除，只要加上所有数字求和，看和能否被三整除。
例子：15 （1+5=6），6 能被三整除，所以，15 能被三整除。
121 （1+2+1=4），4 不含3的因子，所以 121 不能被三整除。
> 从任何数开始的连续三个整数之和必能被三整除。
> 三边为3-4-5的三角形是三边都是整数的最小的直角三角形。[勾三股四弦五]
还有：你知道吗？如果直角三角形的三边长都是整数，那么其中至少有一边是 3 的倍数。
例子：三边长是 3-4-5，5-12-13，8-15-17，7-24-25，…… （这些都是直角三角形）
其中 3，12，15，24，…… 都是 3 的倍数。
> 当我们说大多数时，我们的意思是 占总体比例（2/3）（三分之二）或 （3/4）（四分之三）。
和三有关的说法：
三人成众，三思而行，一而再，再而三
